Calculo diferencial

¿Qué es el número e? ¿Qué valor tiene? ¿De dónde procede?

Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias.

Y allí apareció el número e, caído del cielo de los logaritmos naturales. Entonces no pregunté de donde venía, ni tampoco me lo contaron. Sólo nos dijeron que  e era la base de los logaritmos naturales o neperianos y punto.
El número e
¿Qué tienen en común una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias?
No tienes que irte demasiado lejos. El número 3 te dará la respuesta.
Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad.

                                             

Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ, i, e).

e no están famoso ni tiene tanta historia como π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial y está muy relacionado con el cálculo (al igual que π frecuenta lugares geométricos).

No es un número perfecto, pero surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos.

Aunque no lo percibas, el número e es importante en tu vida cotidiana.

Orígenes del número e

En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.

Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras.

Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.

¿Cuá es el valor del número e?

Al igual que π,  el número e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional.

Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2’7182818284 …

e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta.

¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, otros número decimales como  2’1569  o  3’3267?

Cómo calcular el número e

Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente fórmula:

El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2, que se obtiene sustituyendo n por 1 en la fórmula anterior y operando:

Vamos a acercarnos un poco más. Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia.

Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así:

 Con la ayuda de una calculadora puedes aproximarte al número e. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2’71828 …

En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2’72

Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e.

¿Por qué se llama número e?

El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad.

Es probable que e ni siquiera venga de “exponencial” sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo.

En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta:



Recuerda lo que significa el símbolo factorial (!)   4!=4·3·2·1
Como puedes ver es otra forma de obtener el número e, sumando esta seria infinita. Cuantos más términos sumes en esta serie, tanto más te acercarás al valor numérico de e.
No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler, al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número.

Algunas ecuaciones donde aparece el número e

 ➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es:

Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña.

➨ Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones (como bacterias). Cuando no hay factores que limiten el crecimiento, se aplica esta fórmula:

Que te permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0.

➨  Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad  va desapareciendo lentamente. La función que regula esta desintegración se determina mediante esta fórmula:
donde Q es la cantidad final de carbono 14, Qo es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.

➨ En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la que siempre se ajusta el estudio de cualquier población suficientemente grande), siempre está presente el número e

➨ Da el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones:

Curiosidades del número e

·         La notación e aparece por vez primera en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731.

·         La pasión que llevó a tantos matemáticos a calcular π con más y más decimales nunca se dio para el caso de e.

·         Regla mnemotécnica para recordar el número e: “El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme” El número de letras de cada palabra equivale  a las cifras de nuestro protagonista.

·         O puedes aprenderte una curiosa pauta. Observa que después del “2,7” el número “1828” aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°

  2,7  1828  1828  45  90  45         Ehh! Parece un número bien ordenado y listo!

·         Usando fracciones la mejor aproximación a e es 87/32. Nada impactante. Pero usando 3 dígitos, la mejor fracción es 878/323. Sorprendente.

·         En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales). π  y  e^π  también lo son.

·         Ernest V. Wright escribió la novela “Gadsby“, de unas 50 mil palabras sin la letra e.

·         Aparece en una identidad revolucionaria, la fórmula más extraordinaria de todas las matemáticas. Laidentidad de Euler incluye a los números más famosos de las matemáticas.